Können sowohl mein Ex-Mann als auch ich einen Antrag auf Baukindergeld für unsere Tochter stellen?

Mein Ex-Mann möchte sich ein Haus kaufen. Unsere Tochter lebt bei mir. Jetzt möchte er, dass unsere Tochter bei ihm gemeldet ist und er das Kindergeld bekommt, damit er das Baukindergeld in Anspruch nehmen kann. Da das Kind danach dann aber wieder bei mir gemeldet wäre und ich dann auch wieder das Kindergeld bekäme weiß ich nicht, ob er den Zuschuss dann überhaupt weiter bekommen könnte? Oder ist es egal wenn das Kind direkt wieder wegzieht? Und kann ich dann auch noch das Baukindergeld beantragen wenn meine Tochter wieder bei mir ist?